Matematyka, ekonomia, probabilistyka

Każda nauka jest o czymś

Strukturą jest: przestrzeń topologiczna, przestrzeń liniowa, grupa, pierścień, algebra liniowa, przestrzeń liniowa uporządkowana i ogólnie algebra abstrakcyjna - zespół zbiorów. Zbiory są własnościami. Torebka kaszy jęczmiennej, worek piasku czy wydzielony obszar lasu - nie są zbiorami. Zbiór jest określony przez swoje elementy i jeśli nie ma kryterium rozstrzygającego czy dany punkt ma tę własność czy jej nie ma, to nie ma zbioru. Badając określone ziarnko piasku, nie potrafimy rozstrzygnąć, z którego jest worka, podobnie jest z drzewem czy z krupiną. Obiekty izomorficzne utożsamia się. Najprostszym izomorfizmem jest równoliczność. Rodziny zbiorów równolicznych - liczby kardynalne - są obiektami rzędu wyższego, w sensie teorii typów Russella: obiekt ma typ 0, zbiór - typ 1, rodzina zbiorów - typ 2 i tak dalej. Matematyka unifikuje całą naukę. Wiedza naukowa jest w pełni przekazywalna; umiejętności, których nie potrafimy jednoznacznie przekazać, należą do sztuki. Wiedza ma wartość poznawczą, informacja - użytkową.

Matematyk nie rozróżnia ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Dla niego są to obiekty identyczne. Ciągi arytmetyczne definiuje się w addytywnej grupie liczb rzeczywistych, a ciągi geometryczne w multiplikatywnej grupie liczb rzeczywistych dodatnich. Obie te grupy są jednak izomorficzne, a wielkim odkryciem naukowym było stwierdzenie, że logarytm jest izomorfizmem. Logarytm przeprowadza jednoznacznie ciągi geometryczne w ciągi arytmetyczne, funkcja odwrotna do logarytmu przekształca ciągi arytmetyczne w geometryczne. Pełna strukturalna odpowiedniość i jednoznaczność, czyli z abstrakcyjnego punktu widzenia tożsamość. Ale dla każdego oszczędzającego w banku procent składany jest czymś istotnie różnym od kapitalizacji zwykłej - liniowej. Matematyka obiekty izomorficzne utożsamia. Analogicznie rzecz się ma ze średnimi arytmetycznymi i geometrycznymi oraz sumowaniem ciągów i ich mnożeniem; produkty nieskończone są całkami.

Współczesna nauka oparta jest na trzech fundamentalnych zasadach

Pierwszą z nich jest aksjomat nieskończoności. Jest to absolutny aksjomat istnienia postulujący byt zbioru nieskończonego, czyli zbioru równolicznego ze swoim podzbiorem właściwym. W przyrodzie istnieją modele zbiorów skończonych, które identyfikuje się z modelami liczb naturalnych i to zwykle niewielkich. Zbiór jednoelementowy {a} jest modelem jedynki, zbiór dwuelementowy {a, b} jest modelem dwójki i tak dalej, ale niezbyt daleko, albowiem widzimy modele małych liczb (rys. 1, 2). Czy w przyrodzie istnieją zbiory nieskończone, tego nie wiemy. Aksjomat nieskończoności możemy weryfikować tylko pośrednio. Jeżeli wnioski z tego aksjomatu mają wartość praktyczną, to aksjomat ten nie jest sprzeczny i może być traktowany jako pewien abstrakt uogólniający skończoność. Bardziej naturalne jest pojęcie nieskończoności potencjalnej. Nie twierdzi się tu, że istnieje zbiór nieskończony, lecz tylko zakłada się, że istnieją zbiory skończone dowolnie liczne. Aktualizacja potencjalnej nieskończoności prowadzi do postulatu istnienia zbioru nieskończonego. Z aksjomatu nieskończoności wynika matematyka ciągła, a ta ma liczne i ważne zastosowania. Jest to właśnie empiryczne potwierdzenie tego postulatu.

Rys. 1. Model liczby naturalnej 3	Rys. 2. Model 4

Drugą zasadą nauki współczesnej jest postulat numerycznego opisu stanów natury. Istnieją tylko wektory, czyli elementy przestrzeni liniowej. Wszystko daje się zmierzyć. Każdy stan układu cybernetycznego jest zadany ciągiem liczb. Ten postulat rozszerza kartezjański układ współrzędnych na całą naukę. Każdy obiekt ma swoje współrzędne w odpowiednio dobranym układzie jednostek. Postulat ten można utożsamić z zasadą parametryzacji.

Nad każdym zbiorem można rozpiąć przestrzeń liniową. Elementy tego zbioru są jednostkami pomiaru. Wektory, czyli punkty przestrzeni liniowej, są w ekonomii koszykami dóbr. Funkcjonały liniowe, czyli wektory dualne, to w ekonomii układy cen. Obliczanie wartości koszyka przy zadanym układzie cen jest całkowaniem. Kasjerka w sklepie cały dzień całkuje. Koszyki dóbr tworzą przestrzeń ekonomiczną. Ta przestrzeń jest wymiaru nieskończonego, albowiem są koszyki jednotowarowe, dwutowarowe, wielotowarowe i nie można podać górnego ograniczenia; liczba towarów w koszyku jest potencjalnie nieskończona: zawsze skończona, ale nie ma górnej granicy. Tę przestrzeń ekonomiczną można utożsamić z algebrą liniową ciągów rzeczywistych o skończonej liczbie wyrazów różnych od zera. Istnieje jeszcze ekonomia przestrzenna - nauka o przestrzeni ekonomicznej w innym sensie. Ekonomia przestrzenna - spacjalna, ale nie specjalna - jest nauką o lokalizacji, a za jej twórcę uchodzi von Thünen. Chodzi o optymalną, ze względu na wzajemne powiązania gospodarcze, lokalizację ośrodków miejskich i wiejskich. Część tej nauki jest piękną i czystą geometrią. Istotą ekonomii jest organizacja pracy.

Trzeci aksjomat jest innej natury. Jeśli dwa pierwsze tworzą język i narzędzie teorii naukowych, to trzeci postulat jest powszechnym prawem nauki. Tym prawem jest zasada równowagi, interpretowana niekiedy jako prawo symetrii. Cała przyroda jest w równowadze dynamicznej. Ruch jest wynikiem zasady równowagi. Stała dążność do wyrównania potencjałów rodzi ruch. Zasada równowagi indywidualizuje poszczególne elementy i sprawia, że każde dwa liście tego samego drzewa - mimo wielkiego podobieństwa - są tak bardzo różne. Wszystkie znane prawa przyrody dadzą się zredukować do zasady równowagi. A pierwszym, który zasadzie tej nadał współczesną postać był Newton; myśl, że akcja jest reakcją obowiązuje nie tylko w mechanice, ale i w całej nauce. Ruch wirowy stabilizuje obiekt. Taka może być właśnie odpowiedź na pytanie, dlaczego ziemia się kręci.

Wiedza o formach kwadratowych,

wielomianach jednorodnych stopnia drugiego, znajduje nowe i szerokie pole zastosowań. Dotychczas główną dziedziną, w której robiono najgłębszy użytek z form kwadratowych, była teoria względności. Drugą dziedziną zastosowań form kwadratowych, równie ważną jak nauka Einsteina, jest ekonomia. Stan ekonomii jest trójką , gdzie R jest zbiorem liczb rzeczywistych; składowe stanu to kolejno: l - praca, c - kapitał oraz s - organizacja. Praca - to ludzie, kapitał - to narzędzia, organizacja - to nauka i wychowanie. Największy problem jest z pomiarem wpływu organizacji, badań naukowych i szkolnictwa na wyniki działalności gospodarczej. Jeżeli do tych trzech zmiennych dodamy czas, to otrzymamy czterowymiarową przestrzeń ekonomiczną R⁴. Fizyczna czasoprzestrzeń jest także czterowymiarowa. Z punktu widzenia formalnego ekonomia i fizyka to nauki o tym samym świecie. Czas jest niezwykłym czynnikiem ekonomicznym i fizycznym. W nim jest postęp i rozwój. Kapitał odnawia się przez użycie; bez zastosowania maleje, niszczeje, ginie. Chociaż stożek jest powierzchnią algebraiczną, to generuje ją linia śrubowa - krzywa przestępna. Linie śrubowe, z których utkany jest stożek, są torami pyłków w kręcącym się wirze powietrznym. W przyrodzie znane jest dobrze zjawisko homeostazy; stabilizacja zawsze jest związana z ruchem wirowym wokół idealnego stanu, do którego pragnie każdy organizm się dostosować. Urządzenia ze sprzężeniem zwrotnym też generują ruch wirowy w przestrzeni swoich stanów. Jednym słowem wszystkie układy cybernetyczne istniejące w naturze reagują na zmieniające się warunki; ciągle trwa niewidoczny ruch wirowy wokół pewnego idealnego stanu, do którego każde jestestwo zmierza. Na giełdzie wiruje punkt równowagi chwilowej; zygzakowate kursy akcji kojarzono z fraktalami. Wydaje się, że piękna teoria samopodobnych obiektów ma luźny związek z zachowaniem się giełdy. Owszem, we wzroście ślimaka jest uwzględnione samopodobieństwo, jednakowoż istotą jest ruch wirowy i spirala wyznaczona przez powiększającą się muszlę.

Fot. E. Szlachcic
Rys. 3. Stabilność

Fundamentalnym lematem jest zasada szufladkowa Dirichleta. W każdym zbiorze trójosobowym dwie persony są tej samej płci. To proste twierdzenie, często przytaczane na dowód, że w przyrodzie nie ma absolutnego chaosu, jest szczególnym przypadkiem zasady Dirichleta. Zasada Dirichleta jest prawem empirycznym. Jeśli w hotelu liczącym 20 pokoi nocuje 21 osób, to przynajmniej w jednym pokoju śpią dwie osoby. Zasada szufladkowa jest twierdzeniem mówiącym, że istnieje warstwica funkcji (X, f, Y) zawierająca więcej niż jeden punkt, jeśli tylko liczba kardynalna zbioru X jest większa od liczby kardynalnej zbioru Y. Jeżeli jest więcej książek niż półek, to na jakiejś półce stoją przynajmniej dwie książki. Zasada Dirichleta jest abstrakcyjnym ujęciem empirycznej reguły. Jeżeli w dziedzinie X funkcji f jest więcej elementów niż w zbiorze wartości Y, to funkcja f nie może być różnowartościowa. Jeśli X = {a, b, c}, a Y = {0, 1}, to każda funkcja przyporządkowuje tę samą wartość: 0 lub 1 przynajmniej dwóm elementom ze zbioru X. Jeżeli X jest zbiorem trzech studentów, 0 oznacza Venus, a 1 Marsa, to przynajmniej dwie osoby w grupie X są z rodu Venus lub z rodu Marsa. Jeśli mamy więcej gołębi niż gołębników, to w którymś gołębniku są przynajmniej dwa gołębie. Wszystkie te przykłady ilustracją zasadę szufladkową Dirichleta; posługujemy się nią w życiu codziennym bez myślenia o tym ważnym i głębokim twierdzeniu matematyki.

1 | 2 | 3 | 4 | 5