Matematyka, ekonomia, probabilistyka

Prawdopodobieństwo wiążemy zwykle z czasem przyszłym

Co wypadnie na loterii? Jaka liczba ukaże się na rzuconej kostce? Kto wygra mecz? Ponieważ nie znamy odpowiedzi, więc wprowadzamy częstotliwości. Oznacza to, że probabilistyka jest teorią możliwości, a nie nauką o koniecznych prawach przyrody. Możliwości są zdarzeniami, którym to zdarzeniom przypisuję określone częstotliwości. Tak więc rachunek prawdopodobieństwa jest rachunkiem możliwości. Rachunek prawdopodobieństwa jest pomiarem nieokreśloności. Jeśli nie wiem jak się rzeczy mają, to czasem zachodzi potrzeba przyjęcia pewnego hipotetycznego stanu za rzeczywistość. Mówimy w takich sytuacjach, że rzecz nie jest pewna, ale możliwa w 20%. Procenty są niewątpliwie bardzo użyteczne. Bez informacji, że 15% samochodów ubezpieczonych w ciągu ulega roku wypadkom, nie może pracować żaden zakład ubezpieczeń. Probabilizm można utożsamić z posybilizmem. Jest to naukowe wygodnictwo - oportunizm. Jeśli nie mogę poznać, to sprowadzam rzecz do zdarzeń losowych, do trafu. Zdarzenie losowe jest pojęciem antropomorficznym. Nie ma przypadku bez człowieka. Lodowiec zsuwający się z gór jest zjawiskiem naturalnym, prawidłowością i koniecznością formującą rzeźbę terenu. Lodowiec schodzący do zamieszkałej doliny jest katastrofą, dopustem bożym, nieszczęśliwym wydarzeniem. Bez człowieka świat jest regularny i konieczny. Człowiek wnosi w ten naturalny ład niepokój, bunt i pragnienie czegoś nowego. Ten bunt ludzki uznałbym za jedyny czynnik generujący stany, które rozumiemy jako zjawiska losowe. Jednostki buntownicze są twórcze. Przypuszczalnie Ewa, realizując zakazaną możliwość, była sprawczynią pierwszego zdarzenia losowego. Ludzkie zachowania generują nieoznaczoność. To człowiek widzi w świecie przypadek, którego sam jest sprawcą przez swoje decyzje. Czyżby jedynie przez ludzkie istnienie bezsens wdzierał się do skądinądracjonalnejprzyrody? Zdanie to, wyjęte z pięknej książki Hellera (M. Heller (1974), str. 136), nie było podstawą sformułowanej wyżej hipotezy o antropologicznych podstawach probabilistyki; można je uznać co najwyżej za argument pośredni.

Determinizm oznacza, że świat jest logiczny, celowy i rządzony przez zasady ogólne ujmowane w postaci praw nauki. Jeśli znam prawo rządzące układem oraz znam warunki początkowe, to natychmiast wiem, jaki będzie dalszy bieg punktu początkowego. Czy determinizm to konieczność, a losowość to możliwość? Konieczność jest w matematyce i nauce. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, to koniecznie - a wynika to z przyjętych definicji - jest funkcją ciągłą. Żadne kłamstwo nie wywodzi się z prawdy. Implikacja tylko w tym jednym wypadku jest fałszywa, gdy prawdziwy jest poprzednik, a fałszywy następnik. Nie można z prawdy wyprowadzić fałszu. Owszem z fałszu wynika zarówno fałsz, jak i prawda, ale z prawdy można wywnioskować tylko prawdę. Reguły logiczne gwarantują niezawodne wnioski. Prawa nauki dotyczą jednakowoż obiektów idealnych. Każde koło występujące w przyrodzie jest tylko namiastką kształtu okrągłego. Jeżeli liść pewnego gatunku drzewa ma formę elipsy, to każdy konkretny liść będzie mniej lub bardziej zdeformowaną elipsą. Obiekty rzeczywiste są obciążone deformacją losową. Czy to jest deformacja losowa, czy cecha swoista? Może na deformacji losowej polega indywidualizm? Gdybyśmy byli identycznymi ideałami, świat stałby się bardzo nudny. Widocznie indywidualizacja jest celową i konieczną składową harmonii świata. Bez tego co zwiemy przypadkiem nie ma realnego świata; jest świat platońskich idei. Więc przypadek jest konieczny. Celowość i harmonia świata są pochodną zasady równowagi; przypadek - więc różnorodność - także wynika z tej zasady. Rzeka jest symbolem determinizmu i probabilizmu; jej nurt jest zdeterminowany doliną, którą sama wyrzeźbiła, jej kresem jest ocean. Czym jest konieczność? Konieczne jest to, co istnieje. To, co nie istnieje,nie jest konieczne. A gdy zaistnieje? A gdy zaistnieje - staje się natychmiast konieczne. Każdy przypadek, który się zrealizuje jest konieczny; wiemy jednak o tym a posteriori.

Prawo nauki bez teorii jest oderwanym stwierdzeniem. Niezależnie od sposobu ustalenia - empirycznie czy dedukcyjnie - prawo nauki, aby na to miano zasługiwało, ze swej istoty jest punktem węzłowym pięknej teorii. Jednym z kryteriów poznania naukowego jest właśnie piękno. Fizycy odkryli dystrybucje, a matematycy nadali temu pojęciu ścisły sens. Dystrybucja jest funkcjonałem liniowym specjalnego rodzaju, dystrybucja jest całką. Wiedza matematyczna wzbogaca się i rozwija przez zasysanie odkryć nauk konkretnych, także ekonomicznych. Matematyzacja jest konieczna, ponieważ ułatwia rozumowanie, upraszcza zapisy, uogólnia. Bez matematyki nauka traci swe piękno, staje się zbiorem porad ze starego kalendarza. Prawda jest tylko w konkretnych interpretacjach; tu jest też użyteczność tożsama z dobrem.

Metrologia ekonomiczna jest teorią pomiaru jakości charakteryzujących gospodarkę: poziom życia, zdrowotność mieszkańców, wykształcenie itd. Czym jest ubóstwo i jak je mierzyć? Czym jest inflacja i jak mierzyć inflację? Czym jest liczba wie każdy. Jest to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Liczbę tę można wyznaczyć empirycznie, mierząc metrem krawieckim obwód baniaka i jego średnicę. Jeśli pomiary były staranne, iloraz tych wielkości będzie w przybliżeniu równy 22/7; p jest normą i prawem nauki. Podobnie jest z inną stałą uniwersalną - liczbą e. Jest to kapitał, jaki otrzymamy po roku z banku, gdy na początku włożymy jedną złotówkę, przy stopie procentowej jeden i przy założeniu, że w banku tym stosuje się procedurę ciągłej kapitalizacji. Ciągła kapitalizacja to doliczanie odsetek w coraz krótszych okresach; jest więc

gdzie 1/n oznacza malejącą stopę procentową, natomiast n jest rosnącą liczbą okresów doliczania odsetek. Prawem nauki jest również liczba złota

spotykana w przyrodzie równie często jak oraz e. Stałe fizyczne mówią także o harmonii mikrokosmosu. Okazuje się, że jeleń północny żyjący na Alasce może wyżyć na pastwisku mierzącym 40 akrów. Jest to przykład normy i równowagi biologicznej. Liczby rządzą światem.

Dopiero w ostatnim dziesięcioleciu okazało się, że stożek - powierzchnia dobrze znana z doświadczenia - jest fundamentalnym prawem ekonomii; jest to rozmaitość dwuwymiarowa z jednym punktem osobliwym. W przyrodzie wszystko wiruje wokół wspólnego środka ciężkości - punktu równowagi. Jest to naturalna konsekwencja zasady Newtona. Ruch wirowy jest istotą ekonomii - oznacza dążność układu do równowagi. Ziemia jest wirującym bąkiem, który zakreśla pełny stożek precesyjny w roku platońskim. Ruch wirowy stabilizuje obiekt. Bąk postawiony przewraca się, a puszczony w ruch obrotowy stoi stabilnie i nie wywraca się nawet przy znacznym nachyleniu osi.

Rys. 8. Stożek - powierzchnia równowagi

Wiedza o formach kwadratowych, wielomianach jednorodnych stopnia drugiego, znajduje nowe i szerokie pole zastosowań. Dotychczas główną dziedziną, w której robiono najgłębszy użytek z form kwadratowych, była teoria względności. Drugą dziedziną zastosowań form kwadratowych, równie ważną jak nauka Einsteina, jest ekonomia. Stan ekonomii jest trójką , gdzie R jest zbiorem liczb rzeczywistych; składowe stanu to kolejno: l - praca, c - kapitał oraz s - organizacja. Praca - to ludzie, kapitał - to narzędzia, organizacja - to nauka i wychowanie. Największy problem jest z pomiarem wpływu organizacji, badań naukowych i szkolnictwa na wyniki działalności gospodarczej. Jeżeli do tych trzech zmiennych dodamy czas, to otrzymamy czterowymiarową przestrzeń ekonomiczną R⁴. Fizyczna czasoprzestrzeń jest także czterowymiarowa. Z punktu widzenia formalnego ekonomia i fizyka to nauki o tym samym świecie. Czas jest niezwykłym czynnikiem ekonomicznym i fizycznym. W nim jest postęp i rozwój. Kapitał odnawia się przez użycie; bez zastosowania maleje, niszczeje, ginie. Chociaż stożek jest powierzchnią algebraiczną - warstwicą wielomianu, to generuje ją linia śrubowa - krzywa przestępna. Linie śrubowe, z których utkany jest stożek, są torami pyłków w kręcącym się wirze powietrznym. W przyrodzie znane jest dobrze zjawisko homeostazy; stabilizacja zawsze jest związana z ruchem wirowym wokół idealnego stanu, do którego pragnie każdy organizm się dostosować. Urządzenia ze sprzężeniem zwrotnym też generują ruch wirowy w przestrzeni swoich stanów. Jednym słowem wszystkie układy cybernetyczne istniejące w naturze reagują na zmieniające się warunki; ciągle trwa niewidoczny ruch wirowy wokół pewnego idealnego stanu, do którego każde jestestwo zmierza.

Szczytowym osiągnięciem matematyki greckiej jest odkrycie brył foremnych zwanych platońskimi; są to wielościany o regularnych równobocznych ścianach i równych kątach bryłowych. Takich brył jest dokładnie 5. Wymienimy je w kolejności rosnącej liczby ścian; pierwszym jest tetraedr, czworościan foremny - ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami; drugim - bardzo dobrze znany sześcian, heksaedr - kostka o ścianach kwadratowych; trzecim ośmiościan, oktaedr - dwa ostrosłupy o podstawie kwadratowej złożone podstawami, ściany są trójkątami równobocznymi; czwartym dwunastościan, dodekaedr, o ścianach pięciobocznych; piątym i ostatnim - dwudziestościan, ikosaedr, o ścianach trójkątnych. Bryła jest wpisana w kulę jeżeli wszystkie jej wierzchołki leżą na sferze, a - opisana na kuli, gdy wszystkie jej ściany są styczne do sfery. W czasach Keplera znano sześć planet: Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz i Saturn - w kolejności oddalenia od Słońca. Sześć planet - to sześć koncentrycznych sfer, środkiem jest Słońce, na których leżą orbity tych planet. Pomiędzy sferami jest pięć interwałów przestrzennych, które Kepler skojarzył z pięcioma bryłami platońskimi. Każdemu interwałowi przyporządkował odpowiedni wielościan tak, aby był wpisany w sferę większą i opisany na sferze mniejszej. Powstała niezwykłej urody konstrukcja geometryczna, która zdaniem Keplera jest esencją ładu boskiego rządzącego światem. Figura ta nosi nazwę pucharu kosmicznego Keplera - epizod w historii nauki; podaje się ją często jako przykład poszukiwań ogólnych prawidłowości rządzących światem - praw nauki. Rzecz jest w istocie piękna - wiąże w jedno geometrię i astronomię; harmonia sfer. Jeżeli odrzucimy planety odkryte później, o orbitach wydłużonych, jako przypadkowe zakłócenia planu boskiego, to z pucharu Keplera można i dziś jeszcze się napić. Spróbuję naśladować Keplera i stworzyć puchar finansowy - wprowadzić geometrię do wirów giełdowych. Stożek (rys. 8) jest kwadryką - powierzchnia stopnia drugiego - o równaniu:

jest to powierzchnia równowagi fizycznej i ekonomicznej. Stożek rozdziela hiperboloidę dwupowłokową (rys. 9)

która jest w jego wnętrzu, od hiperboloidy jednopowłokowej (rys. 10)

będącej jego otoczką zewnętrzną; stożek jest powierzchnia asymptotyczną każdej z tych dwóch hiperboloid. Przestrzeń stanów giełdy - (cena, czas, wolumen) - dzieli się na trzy klasy: niespójne złożone z dwóch konusoidów - wnętrze stożka, domknięta powierzchnia stożka i otwarta spójna część zewnętrzna. Jest to klasyfikacja stanów giełdy. Powierzchnia stożka - to stany równowagi chwilowej; te stany nie są stabilne. W dowolnym otoczeniu punktu leżącego na stożku są stany z innych klas. Stany wewnętrzne tworzą zbiór otwarty - są więc stabilne. Stany zewnętrzne także należą do zbioru otwartego, więc są również stabilne. Mamy tu odpowiednik trzech stanów materii (rys. 11): ciało stałe, płyn, gaz. Stan płynny odpowiada powierzchni stożka: są to niestabilne stany równowagi chwilowej. Czy stabilne stany leżące na hiperboloidzie jednopowłokowej odpowiadają gazowej fazie materii? Czy tu należą firmy, które wypuściły za mało akcji i ich papiery są przewartościowane w górę? Czy stabilny obszar we wnętrzu stożka - dwa konusoidalne steroidy - odnosi się do przedsiębiorstw, które wypuściły za dużo akcji w porównaniu z wartością firmy, tak że akcje są przecenione w dół? Klasyfikacja powyższa może powielać dobrze znane specjalistom od koniunktury stany stabilne gospodarki: schłodzenia i przegrzania. Kosmiczny puchar Keplera przenosi się na parkiet. Dane empiryczne zweryfikują te pytania. Pytania są współzależne; obalenie lub potwierdzenie jednego będzie jednocześnie wyrokiem dla drugiego. Im więcej akcji w obiegu, tym lepsza wycena przedsiębiorstwa; więcej jest właścicieli, a chociaż każdy z nich ocenia z błędem, to w swej masowości błędy się znoszą; im mniej akcji w obiegu, tym mniej posiadaczy, więc: szacunki są obciążone większymi błędami, bo nie ma uśrednienia. Angielski termin volatility doskonale oddaje sens gazowej fazy giełdy.

Rys. 9. Puchar finansowy	Fot. E. Szlachcic Rys. 10. Volatility	Rys. 11. Trzy fazy ekonomii

  1 | 2 | 3 | 4 | 5