Matematyka, ekonomia, probabilistyka

Jeżeli nie ma praw nauki, to nie ma prognoz naukowych

- są scenariusze rozwoju, są wielorakie możliwości. Scenariusz jest rodzajem wróżby czy przeczucia, a nie wnioskiem z praw nauki. Scenariusz jest jedną z wielu możliwości. Nie jest to więc prognoza naukowa. Ponieważ prawa nauki są wbudowane w pewną teorię, w jakąś strukturę matematyczną, więc prognozy są tezami tej teorii. Przypuśćmy, że rozkłady istnieją w przyrodzie. Jeżeli dany jest rozkład w przestrzeni stanów, to prognozą naukową jest właśnie opis tego rozkładu. Prognozy ekonomiczne utożsamia się z racjonalnymi oczekiwaniami. Hipoteza racjonalnych oczekiwań jest ekonomicznym prawem bezwładności. W latach dwudziestych harwardzka szkoła ekonomii zasłynęła ze wskaźników koniunktury. Były to tak zwane barometry harwardzkie - indeksy rynku finansowego i towarowego. Korzystano z nich przy prognozowaniu stanu gospodarki. Przed wielkim kryzysem w 1929 roku indeksy harwardzkie wskazywały zwyżkę. Decyzje ekonomiczne zależą od wolnej woli przedsiębiorców i są nieokreślone. Właściciel dużego pakietu akcji, który zamienia je na kolię brylantową, może spowodować reakcję łańcuchową.

Od Protagorasa wywodzi się prawdopodobnie pojęcie doświadczenia, które sprowadza się do obserwacji zjawisk łącznych. Na tej podstawie wnioskujemy o relacjach istniejących w naturze. Nauka stwierdza fakty, podaje związki między nimi oraz stawia prognozy. W nauce jest tylko czas teraźniejszy. Chwila teraźniejsza niczym nie wyróżnia się ani od chwili przyszłej, ani od chwili przeszłej. Czas to uporządkowane punkty prostej - zbiór liczb rzeczywistych. Prognozy naukowe są sądami pewnymi, albowiem dotyczą bytów idealnych, ponadnaturalnych. Prognozy naukowe sprawdziły się już w chwili sformułowania. Inaczej być nie może. Przyszłość zawsze jest niepewna i to nie tylko z tego powodu, że prawa nauki są tylko pewną aproksymacją świata, który opisują. Po prostu tego świata już jutro może nie być. Wiedza jest obrazem świata i dotyczy tylko tego obrazu, a nie materii fizycznej.

Prawa nauki są uniwersalne. Twierdzenia fizyki mają swoje odpowiedniki w ekonomii. Tezę o śmierci cieplnej Wszechświata - temperatura w świecie wyrówna się i praca nie będzie możliwa - w ekonomii interpretujemy jako twierdzenie o malejącej do zera stopie procentowej. Podobnie jest z trzecim prawem Newtona, z którego wynika, że materia we Wszechświecie wiruje wokół środka ciężkości. W ekonomii oznacza to, że chwilowe stany równowagi wirują wokół nieznanego stanu idealnego. Pojawia się spirala logarytmiczna. Ta spirala jest często spotykana w przyrodzie; jest to model wzrostu naturalnego - wzrostu wykładniczego rys. 14. Na promieniu, wychodzącym w dowolnym kierunku z centrum ślimaka, zwoje odcinają interwały; ich długości są ciągiem geometrycznym. Ciąg geometryczny jest podstawą matematyki finansowej. Ekonomia jest określona macierzą przepływów międzygałęziowych ; maksymalna wartość własna macierzy jest współczynnikiem rozwoju, a odpowiadający jej wektor własny wyznacza magistralę. Jeżeli więc jest największą wartością spektralną operatora , m wektorem własnym odpowiadającym , to stożek jest magistralą ekonomii opisanej macierzą . Ciąg wektorów zdefiniowany indukcyjnie: , jest trajektorią gospodarki startującej z punktu m. Ponieważ , więc ciąg jest ciągiem geometrycznym. W normalnych warunkach współczynnik rozwoju jest liczbą silnie większą od 1; obecnie dla Polski równa się w przybliżeniu 104/100, co znaczy czteroprocentowy wzrost. Jest to stan naturalny; rozwój ekonomiczny i wzrost ślimaka modeluje ciąg geometryczny - procent składany.

Fot. E. Szlachcic
Rys. 14. Procent składany

Wraz z upływem czasu stopa procentowa maleje do zera. Związane to jest ze wzrostem wydajności kapitału. Oszczędność jest naturalną skłonnością. W normalnych warunkach, bez wojen i kataklizmów, oszczędności rosną. Kapitał jest towarem. Popyt i podaż określają stopę procentową. W Kodeksie Hammurabiego dopuszczalna stopa procentowa nie może przekraczać 20%; w wyjątkowych przypadkach górną granicę przesuwa się do 1/3. W miarę wzrostu oszczędności wartość kapitału maleje. Stąd wyprowadzam tezę, że stopa procentowa asymptotycznie maleje do zera. Stopę procentową definiuje się jako opłatę za odłożenie konsumpcji. Stopa procentowa niweluje inflację. Również stopa procentowa jest opłatą za ryzyko. Wszystkie te stwierdzenia nie są sprzeczne z naszą tezą. Średni przyrost kapitału jest zerowy; średni to znaczy po uwzględnieniu inflacji i ryzyka. Wolnych środków jest coraz więcej, bo więcej wytwarzamy niż konsumujemy. Wzrost wydajności zwiększa naturalną skłonność do odkładania. Stopa procentowa charakteryzuje cykl koniunkturalny: od zerowej stopy procentowej do stopy zerowej. Cały wysiłek rzeszy menadżerów i bankowców skierowany jest na przeciwdziałanie malejącej stopie procentowej.

Zjawisko zwane efektem zewnętrznym znano dawno

Efekt zewnętrzny zmienia stan posiadania bez wysiłku, a nawet czasem bez wiedzy właściciela. Skutki mogą być dodatnie i ujemne. Efekt sieciowy jest nieco innej natury; jego istotą jest wzrost naturalny. Prawo Malthusa y' = py może być przyjęte za definicję tego zjawiska. Również efekt domina jest przykładem efektu sieciowego. Kolejne bankructwa powiązanych finansowymi zależnościami przedsiębiorstw są analogonem walących się klocków.

Ekonomia jest nauką o podziale i produkcji. Istnieje pojęcie równowagi produkcyjnej i równowagi rynkowej. Równowaga produkcyjna oznacza, że maszyna ekonomiczna kręci się bez zgrzytów. Równowaga rynkowa bilansuje podaż i popyt. Jeśli te stany są równe, wtedy układ gospodarczy jest zrównoważony. Stan równowagi oznacza pełne racjonalne zatrudnienie. Rezerwa pracy - około 3% - jest konieczna ze względu na naturalny tok produkcji i zachodzące zmiany strukturalne. Zdarzają się także katastrofy - powodzie, huragany, trzęsienia ziemi et cetera. Rezerwowy pracownik nie jest bezrobotnym, on pracuje, zwiększa niezawodność systemu; jak rezerwowy gracz w ważnym meczu.

Każdy uczestnik sceny ekonomicznej ma swoją własną funkcję użyteczności, swoją własną relację preferencji. Jak z preferencji indywidualnych otrzymać preferencję społeczną? Najprostszym rozwiązaniem jest relacja większościowa: ta jakość jest lepsza, którą wybrało więcej uczestników rynku. Okazuje się jednak, że relacja większościowa nie zawsze jest preferencją. Wiedział o tym już pod koniec XVIII wieku markiz de Condorcet. Profesor Janusz Łyko nie tak dawno zauważył, że relacja większościowa jest preferencją, gdy każda alternatywa ma większość przekraczającą 2/3. Przez to odkrycie kwalifikowana większość na poziomie 2/3 awansowała do prawa nauki; większość przekraczająca 2/3 jest stabilna. Funkcja użyteczności jest numeryczną realizacją preferencji, jest pomiarem ekonomicznym sensustricto. Każdą relację preferencji, relację refleksywną i przechodnią, można zrealizować przez podzielność w odpowiednio wybranym pierścieniu liczb algebraicznych. Teoria podzielności, z pozoru daleka od ekonomii, jest częścią nauki o gospodarowaniu. Abstrakcyjnym ujęciem preferencji jest podzielność. Sucha matematyka przeplata się z istotą ekonomii; wybór jest podzielnością liczb algebraicznych.

Najprostszym wyobrażeniem nieskończoności jest ruch cykliczny

Zajęcie Syzyfa trwa wiecznie, bo się powtarza. Nauka formułuje prawa abstrakcyjne na podstawie doświadczenia. Wyobrażenia produkuje podmiot poznający, jego intuicja; proces myślenia przebiega w czasie. Czas obiektywnie może istnieć lub może nie istnieć. Tego nie wiemy. Jeśli czas obiektywnie istnieje, wtedy już istnieje rok 3000, niezależnie od tego, czy cokolwiek innego będzie istnieć. Jeśli świat zniknie dziś, a czas obiektywnie istnieje, to czas musi dalej istnieć. Ale jedynym sposobem odczucia czasu jest zmiana. Czas jest więc trudną kategorią fizyczną i filozoficzną. Prognozowanie jest wnioskowaniem z przyczyn o skutkach; nie ma innej przyczyny jak tylko czas. Przyczyny i skutki definiują następstwo czasu: czas jest jedyną przyczyną.

Przestrzeń i czas to kategorie współzależne. Jeśli czas istnieje, to koniecznie istnieje i przestrzeń. Czas w nauce jest linią prostą, czyli zbiorem liczb rzeczywistych, a przestrzeń jest produktem kartezjańskim zbioru liczb rzeczywistych. Jeśli przestrzeń istnieje, to oczywiście istnieje i czas. Czas rodzi przestrzeń, a przestrzeń czas. Przestrzeń i czas to skutek istnienia materii. Przestrzeń i czas tworzą jedność, ale zależą od materii i ruchu. Kategoria przestrzeni obejmuje różnorodne formy przejawiania się materii, określa wzajemne rozmieszczenie przedmiotów i ich odległości. Kategoria czasu jest pochodną zmiany, ruchu, i wskazuje na następstwo zjawisk, trwanie oraz na wzajemne zależności faz rozwojowych. Z kategorii czasu wywodzi się kategorię przyczyny i skutku.

Czy istnieje księgaprawdy, w której jest napisane, co było, jest i będzie? Zapis w tej księdze jest sądem pewnym, jest tym, co jest konieczne, co musi się zdarzyć - jest proroctwem. Prognoza ma w sobie element niepewności, element nadziei, że może być inaczej, że groźba może się nie spełnić. Chociaż prognoza jest wnioskiem z prawa nauki, nie jest sądem pewnym. Jest tylko możliwością - scenariuszem. Każde prawo nauki spełnia się tylko w określonych granicach; zawsze jest jakiś błąd - błąd pomiaru przede wszystkim. Z bardzo małym prawdopodobieństwem można przejść przez ścianę, nie niszcząc ani ściany, ani własnego ciała. Jest to wniosek z praw nauki.

Prawo nauki - a więc pewna regularność w świecie wrażeń, jest skutkiem ogólnej zasady równowagi. To równowaga wymusza powszechne prawa przyrody. Znaną wypowiedź o lęku natury przed próżnią należy interpretować jako jej skłonność do stałego ulegania równowadze. Natura jest symetryczna, albowiem matką wszystkich praw nauki jest równowaga. Pogląd savoir c'est prevoir identyfikuje naukę z prognozowaniem. Tales z Miletu obliczył wysokość piramid egipskich korzystając z twierdzenia o zależnościach pomiędzy bokami w trójkątach podobnych. Była to prawdziwa prognoza naukowa - wniosek z prawa przyrody, zwanego obecnie twierdzeniem Talesa.

Rys. 15. Preferencja

Wypukłość jest jednym z ważniejszych pojęć

Istnieje obszerny dział matematyki zwany analizą wypukłą. W przestrzeniach liniowych unormowanych wypukłość jest naturalnym wewnętrznym pojęciem. Kule są zbiorami wypukłymi. Podprzestrzenie liniowe, stożki i kliny to zbiory wypukłe. Podprzestrzenie liniowe generują relacje równoważności, stożki - porządek, a kliny - preferencje. Rzecz jest to niezwykła: rynkowy wybór klienta w abstrakcyjnym ujęciu okazuje się tworem czysto geometrycznym - klinem. Klin w przestrzeni koszyków jest niepustym zbiorem zamkniętym ze względu na dodawanie wektorów i mnożenie wektorów przez nieujemne skalary (rys. 15). Pierwsza ćwiartka płaszczyzny jest przykładem klina w przestrzeni dwutowarowej R². W przestrzeniach liniowych uporządkowanych można mówić o funkcjonałach liniowych monotonicznych. Takie funkcjonały to miary albo całki. Wśród nich są również miary probabilistyczne. Przestrzeń ilorazowa otrzymana z utożsamienia elementów równoważnych względem preferencji staje się przestrzenią liniową uporządkowaną. Dla każdego podzbioru przestrzeni liniowej istnieje najmniejsza podprzestrzeń rozpięta przez ten zbiór. Tak samo dla każdego podzbioru istnieje najmniejszy klin generowany. Również każdy podzbiór można uwypuklić; istnieje wówczas najmniejszy zbiór wypukły zawierający zbiór wyjściowy. Uwypukleniem zbioru niepustego jest rodzina wszystkich kombinacji wypukłych wektorów do niego należących. Wypukła kombinacja jest średnią wektorów; tak widział probabilistykę Hilbert. Współczynniki są prawdopodobieństwami lub wagami umieszczonymi w punktach. Rachunek prawdopodobieństwa sprowadza się do wypukłości.

Znormalizowane miary - to prawdopodobieństwa. Istnieją także pomiary, czyli zmienne losowe. Rachunek prawdopodobieństwa bada miary, statystyka - zmienne losowe. Oba podejścia są równoważne. Teoria częstościowa łączy statystykę z rachunkiem prawdopodobieństwa. Jest to przejście od zmiennych losowych do rozkładów: aproksymacja dowolnych rozkładów kombinacją wypukłą rozkładów jednopunktowych. Probabilistyka korzeniami tkwi w pojęciu wypukłości. Czy istnieje inny, adekwatny model przestrzeni probabilistycznej, niż ten redukujący się do pojęcia wypukłości? Wszystkie próby zbudowania takiego modelu, jak dotąd, okazały się zawodne.

Prawda jest rosnącą funkcją wiary. Sąd jest tym bardziej prawdziwy im silniej w niego wierzymy. Prawda jest wiarą. Ongiś pojedynek traktowano jako kryterium prawdy; kto zwyciężał, ten miał słuszność. Ta metoda weryfikacji sądów zakłada, że sprawiedliwego i niewinnego Bóg wspomoże. Ale co jest prawdą? Idee i ideały tworzą świat czystego rozumu, który istnieje tylko w podmiocie i nie daje poznania przedmiotowego. Idee i ideały są wytycznymi myślenia i działania, nie są przedmiotami wiedzy, lecz wiary. W nauce instrumentalnej są teorie i modele służące doraźnym celom, ale nie ma prawdy. Owszem nauka instrumentalna jest nawet bardzo potrzebna, jak most pontonowy na rzece, ale jest to budowla czasowa. Nauka instrumentalna jest użyteczna, natomiast wielka Nauka jest kontemplacją zbliżającą człowieka do Boga. Nauka uszlachetnia, wprowadza ład i harmonię, eliminuje przypadek i losowość - wskazuje drogę do ideału.

Przypadek i losowość - to wyzwanie rzucone nauce przez naturę. Poszukiwanie prawd wiecznych, niezmiennych, jest celem nauki od zarania dziejów. Wbrew pozorom jesteśmy, jako gatunek, konserwatywni. Zmiana nas niepokoi, czasem przeraża, niekiedy zaciekawia, ale zawsze burzy dotychczasowy stan równowagi. Żyjemy w śnie otoczeni przedmiotami zmiennymi, krótkotrwałymi; poszukiwanie obiektów idealnych, trwałych, doskonałych jest tak samo naturalne, jak pragnienie nieśmiertelności. Wszystkie rzeczy, zwierzęta, rośliny i ludzie noszą piętno indywidualności. Nie ma na ziemi dwóch obiektów identycznych, takich samych. To, co nas wzajemnie odróżnia, to, co odróżnia dwa okazy tego samego gatunku, to, co rozróżnia dwa podobne przedmioty, czymże jest jeśli nie cechą przypadkową, zdarzeniem losowym? Losowość jest więc sposobem na deuniformizację. Determinizm to harmonia, ideał, doskonałość, czyli prawo nauki. Losowość to zmiana, koloryt lokalny, dysharmonia. Determinizm można utożsamiać z pięknem, prawdą i dobrem; przypadek - zaprzeczenie determinizmu - też bywa piękny.

Nie ma nauki bez wysokiej etyki i moralności, bez poświęcenia i ciężkiej pracy. Ludzi nauki stawia się często za wzorce postępowania i zachowań prospołecznych. Większy wpływ, więc i większe wymagania. Nauka, szeroko rozumiana, jest bardzo ważną składową codziennego życia. Nawet praca zarobkowa wykonywana metodycznie ma charakter poznawczy. Język nauki jest prosty, intuicyjnie zrozumiały i powiązany z żywą mową codzienną. Sztuka i literatura przyczyniają się nie tylko do popularyzacji nauki, ale mają także silny wpływ na twórczość naukową.

Ongiś rzemieślnik był także nauczycielem i wychowawcą; warsztat był salą wykładową i laboratorium badawczym. Cech był odmianą akademii artystycznej i technicznej jednocześnie. W warsztacie średniowiecznym daje się wyróżnić trzy uniwersyteckie poziomy nauczania: terminator, czeladnik, majster; w akademickiej linii będzie to: żak, bakałarz i magister. Uczeń mieszkał w domu mistrza i pracował za mieszkanie, wyżywienie oraz naukę; przez wiele lat formowano przyszłego artystę i rzemieślnika oraz uczciwego i prawego obywatela; cech to rodzaj zakonu i klubu towarzyskiego. Nie znano pojęcia plagiatu i własności intelektualnej. Uczeń oprócz zawodu zdobywał także umiejętność czytania i pisania oraz prowadzenia ksiąg rachunkowych. Mistrz dbał w pierwszym rzędzie o poziom etyczny i moralny swych wychowanków. Tradycją stało się, że czeladnik po wyzwoleniu odbywał roczną wędrówkę w dalekie nieraz strony, aby zgłębić i poszerzyć umiejętności. Po powrocie i wykonaniu majstersztyku stawał się pełnoprawnym rzemieślnikiem - często wybitnym artystą. Do wzorców cechowego wychowania nawracano w nowszych czasach. System ten ma niewątpliwe zalety i w nauce jest ciągle praktykowany. Jakie cechy charakteryzują współczesnego wzorowego obywatela? Jest to perfekcjonista o otwartym umyśle i dyscyplinie wewnętrznej, jednocześnie tolerancyjny, aktywny, odważny, uczciwy, krytyczny i odpowiedzialny. Ideałów nie ma, ale nie należy przez to zaniechać wysiłku w dążeniu do doskonałości. Pomaga w tym matematyka: bez zasad i reguł nie ma nauki i nie ma zdrowego społeczeństwa, wiedza - to analogie i wzorce: izomorfizmy i struktury - struktury matematyczne.

  1 | 2 | 3 | 4 | 5