Matematyka, ekonomia, probabilistyka

Słowo matematyka oznacza wiedzę

W starożytności nie było innej wiedzy poza matematyką. Matematyka jest nauką o świecie fizycznym w abstrakcyjnej formie. Jeśli teoria nie ma odpowiedników w świecie materialnym, to jest pustym rozważaniem. Matematyka jest wiedzą o wszystkim. Ten uniwersalizm osiąga się przez abstrakcję. Matematyka to przede wszystkim dedukcja, ale ta dedukcja musi być oparta na faktach weryfikowalnych. Matematyka jest więc także nauką empiryczną. Gauss sprawdzał prawdziwość postulatu o równoległych Euklidesa. Postulat ten jest równoważny twierdzeniu, że istnieje trójkąt, którego suma kątów jest kątem półpełnym. Gauss obrał trzy szczyty: Hoher Hagen, leżący około 15 kilometrów na południowy zachód od Getyngi i wysoki 508 metrów, Brocken mierzący 1142 metry, leżący w górach Harzu na południowy zachód - około 13 kilometrów - od Wernigerode i wreszcie w Turyńskim Lesie Ilsensberg, wysoki na 916 metrów i leżący na południowy zachód od Gothy - około 20 kilometrów od tego miasta. Boki trójkąta Gaussa, podane liczby mają charakter orientacyjny, mierzą kolejno: 70 (Hoher Hagen - Brocken), 85 (Hoher Hagen - Ilsensberg) i 105 (Brocken - Ilsensberg) kilometrów. Oczywiście wszystko się zgadza z dokładnością do błędów pomiaru.

Rys. 4. Trójkąt Gaussa

Ekonomia jest nauką o racjonalnym gospodarowaniu

o dobrym prowadzeniu domu, o zarządzaniu majątkiem. Podstawą tej nauki jest zasada racjonalności - homo oeconomicus. Jest to obiekt idealny, model teoretyczny. Po ulicach chodzą ludzie z krwi i kości, którzy często zachowują się jak homo antyoeconomicus. Decyzje ludzkie rodzą nieoznaczoność. Dlatego rachunek prawdopodobieństwa jest tak silnie eksploatowany w ekonomii. W ekonomii często szuka się związków korelacyjnych; nawet silna korelacja nie jest dowodem na istnienie zależności funkcyjnej - prawa nauki. Aby wykryć prawo nauki, potrzeba głębszych studiów. Prawa nauki są relacjami wiążącymi stany układu cybernetycznego, którym może być żywy organizm, maszyna lub system gospodarczy. Z punktu widzenia matematycznego prawa nauki są rozmaitościami w wielowymiarowych przestrzeniach stanów. Takim prawem jest paraboloida hiperboliczna przedstawiona na rys. 5. Jest to powierzchnia siodłowa; siodło jest punktem równowagi gry dwuosobowej o sumie zerowej: wygrana jednego jest przegraną drugiego. Gry ekonomiczne mają inny charakter; tutaj wszyscy mogą wygrać. Do wygranej potrzeba jednak współpracy i kompromisu.

Rys. 5. Siodło

Modele struktur matematycznych można uważać za teorie nauk konkretnych

Praca umysłowa wtedy tylko zasługuje na miano pracy badawczej, jeżeli jej celem jest poznanie praw rządzących naturą. Nie ma nauki bez substratu w świecie fizycznym szeroko rozumianym. Czym jest probabilistyka? Co jest przedmiotem tej dziedziny ludzkich zainteresowań? W języku polskim mówimy o rachunku prawdopodobieństwa. Mierzymy podobieństwo do prawdy. W jakim stopniu sąd nasz o naturze zjawiska jest prawdziwy? To podobieństwo można mierzyć tylko w rodzinie sądów - zdań w określonym języku odnoszących się do jakiejś rzeczywistości. Kaloryfer jest gorący. Takie zdanie nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe. Jeżeli zwiążemy go z wyróżnionym budynkiem w wybranej chwili, wtedy możemy mu przypisać liczbę będącą stosunkiem kaloryferów gorących do liczby wszystkich kaloryferów w tym budynku. Ta liczba jest pewnym ułamkiem informującym, jaki procent kaloryferów jest w tym właśnie stanie. Czy można ją uważać za miarę podobieństwa do prawdy? Jeżeli na 10 kaloryferów w willi 7 jest gorących, to ułamek 7/10 wskazuje, że nasze zdanie w odniesieniu do średniego, kaloryfera będzie prawdziwe w 70% i fałszywe w 30%. W ten sposób otrzymujemy coś w rodzaju logiki wielowartościowej albo rozmytego zbioru kaloryferów. Nie jest to jednak wiedza o czymś specyficznym, co chcielibyśmy nazywać przypadkiem, zdarzeniem losowym, trafem albo też ryzykiem. Przy okazji warto zaznaczyć, że w nauce nie ma ani prawdy, ani fałszu. Twierdzenia naukowe odnoszą się do obiektów idealnych. Dychotomiczny podział zdań definiuje naukową prawdę i naukowy fałsz. Jeśli określone zdanie należy do jednej klasy, to jego negacja koniecznie jest w drugiej klasie. Nie ma to wiele wspólnego z klasyczną definicją prawdy, gdzie o prawdziwości zdania rozstrzyga pewna relacja zgodności sądu ze stanem natury. Natura jest zawsze transcendentna w stosunku do poznającego umysłu, a twierdzenie wiem,że nic nie wiem jest szczytem poznania racjonalnego.

Zgodnie z powszechnie przyjętą definicją, pochodzącą od Kołmogorowa, prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, unormowaną w tym sensie, że cały zbiór ma miarę równą 1. Dziedziną miary jest algebra Boole'a podzbiorów określonego zbioru. Elementy tej algebry Boole'a są pojęciami pierwotnymi, zwanymi zdarzeniami. Jakie są desygnaty zdarzeń? To, co w języku potocznym rozumiemy przez zdarzenie, jest zwykle nieszczęśliwym wypadkiem, katastrofą lub czymś podobnym w sensie pozytywnym. Ale te zdarzenia nie tworzą żadnej algebry Boole'a, bo na ogół są niepowiązane, przynależą do różnych klas. Możemy badać częstotliwość wypadków na jakimś skrzyżowaniu. Czy tę liczbę mamy prawo traktować za prawdopodobieństwo wypadku przy przejeździe przez to skrzyżowanie? Oczywiście nie. Teoria miary jest nauką o klasyfikacji ziemi, o cenie, o średniej wartości, o granicy ciągu i tak dalej. Miara jest bowiem funkcjonałem liniowym, ciągłym i monotonicznym. Miara jest całką. Mowa tu naturalnie o rozumieniu abstrakcyjnym, matematycznym, gdzie obiekty izomorficzne utożsamia się. W ten sposób Kołmogorow sprowadził rachunek prawdopodobieństwa do całki. Prawdopodobieństwo jest całką i niczym więcej.

Metodą Monte Carlo dość skutecznie obliczamy niektóre wielkości. Aby wyznaczyć pole określonego obszaru, wystarczy obszar ten pokryć kwadratem, na ten kwadrat rzucić szczyptę maku i policzyć ile ziarenek wpadło do obszaru, którego pole chcemy poznać. Pole obszaru jest takim procentem pola całego kwadratu, jaki procent ziarenek maku leżących w kwadracie jest także w szacowanym obszarze. Przykład ten oznacza, że metody uważane za probabilistyczne mogą być przydatne i nawet efektywniejsze niż postępowanie deterministyczne. Jest to sztuka obliczeniowa. Modelem rzutu szczypty maku jest miara, czyli rozkład. Nie oznacza to jednak, że w przyrodzie istnieje mechanizm zwany przypadkiem.

Powszechnie znane są koła thünenowskie, koncentrycznie rozłożone wokół ośrodka miejskiego i dzielące okolicę przyległą na strefy gospodarcze zaopatrujące miasto w potrzebne produkty. Strefy te są wyznaczone przez koszty transportu i częstotliwość dostaw. Koła te można traktować jako warstwice potencjału ekonomicznego wytwarzanego przez metropolię. Warto podkreślić, że koło jest krzywą o zadziwiających własnościach. Wiadomo, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest liczbą niewymierną, nawet przestępną - transcendentną, równą 3,1415... i oznaczaną symbolem . Liczbę tę można oszacować metodą Monte Carlo, czyli przez pobór odpowiedniej próby. Jedną z takich metod daje słynny eksperyment Buffona z rzucaniem igły na poliniowany papier. Jeżeli długość igły oznaczymy przez 2r, a odległość pomiędzy liniami przez 2d, to prawdopodobieństwo, że rzucona losowo na papier igła przetnie linię - pod warunkiem, że r < d, jest równe:

Z tego wzoru, jeżeli znamy prawdopodobieństwo p, można wyznaczyć liczbę p. Jeżeli na n rzutów igła przetnie linię k razy, to za przybliżoną wartość p można przyjąć liczbę , albowiem prawdopodobieństwo p zostało oszacowane przez częstotliwość (rys. 6). Populacja generalna - w tym przypadku - jest prostokątem z rozkładem jednostajnym, a zdarzenia sprzyjające tworzą zbiór ­. Próba losowa jest dobra, jeśli jej struktura probabilistyczna jest zgodna ze strukturą populacji.

Rys. 6. Igła Buffona

W eksperymencie Buffona rozkład populacji jest znany. Szuka się czegoś innego; szuka się wielkości deterministycznej , którą również można dokładnie obliczyć metodami analitycznymi. Mamy tu piękną okazję weryfikacji próby. Czy próba została pobrana w sposób właściwy? Próba losowa jest oczywiście statystycznym pomiarem.

Inny sposób obliczenia liczby dają kwadratury numeryczne; w istocie obie metody sprowadzają się do tego samego - do prawdopodobieństwa geometrycznego. Stosunek p pola koła do opisanego na tym kole pola kwadratu jest . Liczba p jest prawdopodobieństwem, że rzucone losowo na kwadrat ziarnko maku wpadnie do koła (rys. 7). Jeśli rzucimy n ziaren maku i k z nich znajdzie się w kole, wtedy prawdopodobieństwo p jest oszacowane przez częstotliwość . Ponieważ , więc przybliżoną wartością dla liczby p jest liczba .

Rys. 7. Kwadratura

Istnieje wiele krzywych zamkniętych, dla których stosunek obwodu do średnicy jest stały. Koło jest specjalnie wyróżnioną krzywą, albowiem dla koła ten stosunek osiąga wartość maksymalną w rodzinie wszystkich krzywych płaskich zamkniętych, ograniczających obszar wypukły - krzywych będących brzegiem obszaru wypukłego.

  1 | 2 | 3 | 4 | 5